RUNNER'S WORLD

(eigentlich nicht nur eins, aber 1 dringendes)
Hier sind doch auch Mathematiker, Physiker und sonstige mathematisch begabte vertreten

Ich hab beim googlen nix gefunden (doch, gefunden hab ich alles Mögliche, aber nichts was mir hier hilft)

Also: Ich soll beweisen dass
(*grummel* mir fehlen die Zeichen, einfach kopieren ging nicht)

für alle A,B Teilmenge aus X f injektiv ist, wenn f (A schneidet B) = f (A) schneidet f(B) ist
Als Hinweis hab ich noch: falls f(a)= f(b), so betrachte A:= {a} und B:= {b}

Ich dreh mich im Kreis
zeigen muss ich ja wohl f (a) = f (b) dann a = b

aber, das wars dann auch schon

Hilfeeee....

Ich sag`s mal schnell meinem Twin, der studiert Mathe, kleinen Moment bitte...

So, der feiner Herr der helfen sollte hat momentan besseres zu tun. Ich verweisse auf http://www.matheraum.de, da sind ganz viel Mathe-Menschen die dir sicherlich auch besser helfen können.

Da kann man glaube auch die ganzen Zeichen besser eingeben zum besseren Verständnis

danke, ich versuchs da mal

aber: was ist der die oder das wee?

Na mein Zwillingsbruder, der is hier auch (wenn auch eher passiv) Mitglied

und der nennt sich wee?

In dem mathe forum scheint jemand aus der gleichen Vorlesung zu sitzen Zumindest hat da einer ein Problem mit genau der Aufgabe (allerings komplett, mir fehlt nur c) )
Nun hab ich a) und b) seins Problems gelöst- nur ich bin noch nicht weiter

Sein früheres Lieblingsstofftier (ein Alf) hieß Eric van Wee (mein Alf hieß Welve , Gott habe ihn selig )

ach sooo, ja klar, kann man sich ja denken, ne

pingufreundin hat geschrieben:(eigentlich nicht nur eins, aber 1 dringendes)
Hier sind doch auch Mathematiker, Physiker und sonstige mathematisch begabte vertreten

Ich hab beim googlen nix gefunden (doch, gefunden hab ich alles Mögliche, aber nichts was mir hier hilft)

Also: Ich soll beweisen dass
(*grummel* mir fehlen die Zeichen, einfach kopieren ging nicht)

für alle A,B Teilmenge aus X f injektiv ist, wenn f (A schneidet B) = f (A) schneidet f(B) ist
Als Hinweis hab ich noch: falls f(a)= f(b), so betrachte A:= {a} und B:= {b}

Ich dreh mich im Kreis
zeigen muss ich ja wohl f (a) = f (b) dann a = b

aber, das wars dann auch schon

Hilfeeee....

Erstens:
ich denke, es ist genauer folgendes zu zeigen:

gegeben: Eine Funktion f definiert auf einer Menge X mit a -> f(a) für alle a aus X.

Zu zeigen:
f ist injektiv , wenn für alle A,B Teilmenge aus X gilt:
f (A schneidet B) = f (A) schneidet f(B)
---------------

Zweitens: Ich mach's in ganz kleinen Schritten und sage unten, was eine wohl zulässige Abkürzung ist.


Der Beweis wird indirekt geführt.
Man behauptet einfach, die zu beweisende Aussage sei falsch.
Dann leitet man daraus einen logischen Widerspruch ab und folgert, dass die Aussage daher offensichtlich doch richtig sein muss.

Voraussetzung:

(V) für alle A,B Teilmenge aus X f (A schneidet B) = f (A) schneidet f(B)

Annahme:

(1) f NICHT injektiv

---------------------
aus (1) folgt:

(2) es gibt a, b aus der Menge X

mit a ungleich b und f(a) = f(b)

------------------------

aus (2) und (V) folgt

(3) es gibt a, b aus der Menge X

mit a ungleich b und f(a) = f(b) ; wegen (1)

und

f({a} schneidet{b})
= f({a}) schneidet f({b}) ; wegen (V)
= {f(a)} schneidet {f(b)} ; wegen Definition "Bild einer Menge"
= {f(a)} schneidet {f(a)} ; wegen f(a) = f(b)
= {f(a)} ungleich leere Menge

-------------------------

aus (3) folgt

(4)
es gibt a, b aus der Menge X

mit a ungleich b und f(a) = f(b) ; wegen (1)

und
leere Menge
= f(leere Menge)
= f({a} schneidet{b}) ; wegen a ungleich b
= f({a}) schneidet f({b}) ; wegen (V)
= {f(a)} schneidet {f(b)} ; wegen Definition "Bild einer Menge"
= {f(a)} schneidet {f(a)} ; wegen f(a) = f(b)
= {f(a)} ungleich leere Menge

-------------------------

(4) ist offensichtlich falsch!!!

daraus folgt, dass unsere Annahme (1) nicht richtig sein kann
daraus folgt, dass f injektiv ist, was zu beweisen war!

Für die, die lieber etwas kürzere Beweise mögen:

Man kann auch direkt den Schluß von (1) und (V) auf (4) machen.
Ich wollte es halt lieber Schritt für Schritt erklären.

Mir ist eben noch aufgefallen, dass die Umkehrung auch gilt:

Wenn f injektiv ist, dann muss
auch (V) wahr sein.

Dies sollte man aber nicht beweisen bei deiner Aufgabe, oder?

Übrigens:
Als naturwissenschaftlich orientierter Mensch gehe ich davon aus, dass die physiologischen Prozesse beim Laufen und Training sich vollständig durch mathematische Gleichungen bzw. Algorithmen beschreiben lassen und dass daher der Tag kommen wird, an dem man einen Thread wie Deinen nicht mehr als TOTAL off topic ansehen wird.

BonnerBonbon hat geschrieben:....

(4) ist offensichtlich falsch!!!

daraus folgt, dass unsere Annahme (1) nicht richtig sein kann
daraus folgt, dass f injektiv ist, was zu beweisen war!

Und das am frühen Morgen

ufff...ähm, ich bin mir nicht gaz sicher, ob ich weiß, wo die leere Menge herkommt- wegen des Schnittes von a und b , die aber ja ungleich sein sllen, oder?
Ich war mir nichtmal sicher, ob ich einfach {a} und {b} schneiden darf sondern nur A und B

{a} und {b} sind ganz normale Mengen, die eben jeweils nur ein Element enthalten. Man darf zwischen zwei beliebigen Mengen die Schnittmenge bilden.

Da a ungleich b enthält die Schnittmenge natürlich kein einziges Element.
Und richtig, das erklärt dann auch die Frage, woher die leere Menge kommt.

Ich schreib jetzt mal, mal gucken wie weit ich komme...

hmmm..hab irgendwie das Gefühl, dass da irgendwas nicht ganz stimmt.
Ich weiß bloß gar nicht, was

ich glaube, das kommt, weil ich sonst angefangen habe mit " sei y Element von...." und darüber dann gezeigt habe, dass es ein x gibt...und dann erstmal mit dem Urbild (heißt doch so, oder?) weitergemacht habe

Naja, nun bin ich gerade endgültig verwirrt- aber hab es erstmal fertig.

(und ich bin mir sicher, dass ich das danach nie wieder im Leben brauche)

Hm, mein Sohn ist Mathematiker an der FU... aber bis der antwortet, dauert es, fürchte ich.

Und ich hatte von Klasse 5 bis Klasse 13 eine Fünf in Mathe. Wie konnte ich so ein matheschlaues Kind bekommen??!

LG Ulrike

um 12 muss ich den Unsinn abgeben.
Ist auch nicht so schlimm, wenn ich nicht alle Aufgaben habe- ich will aber gern
Wo sind denn die ganzen Forumsmathematiker hin?
Ich glaub nämlich, so wie oben beschrieben, dass man da was benutzt, was man eigentlich gar nicht hat- und das dann immer wieder

pingufreundin hat geschrieben:um 12 muss ich den Unsinn abgeben.
Ist auch nicht so schlimm, wenn ich nicht alle Aufgaben habe- ich will aber gern
Wo sind denn die ganzen Forumsmathematiker hin?
Ich glaub nämlich, so wie oben beschrieben, dass man da was benutzt, was man eigentlich gar nicht hat- und das dann immer wieder

vertrau mir.

wenn es nachher beschwerden gib, sag ihnen ein doc mit summa cum laude in informatik mit nebenfach mathe hätte dir das gesagt.

Beschwerden wird es wohl nicht geben. Gibt halt Punkte oder eben nicht.
Und ich glaube nicht, dass sie sich von einem virtuellen Doc beeindrucken lassen

Ich hab ja 'nen Physiker im Haus, aber der weiß immer nix. "Beweise? Ach das konnte ich nie" oder "ist zu lange her"
zeigt mir, dass er auch als Physiker nichts von dem MIist können muss und dass es in Ordnung ist, dass es mir eigentlich egal ist, ob z.B. 'ne Reihe konvergiert.

Im Mathe-Forum tut sich gar nichts...Ich gebe es so ab- im shlimmsten Fall ist es falsch und ich gelte als besonders kreativ

Was mich stört: ich benutze die Voraussetzung ja gar nicht wirklich denn aus a0b folgt ja auch der Schnitt aus a und b
egal...

nein
du brauchst die voraussetung

aus a ungleich b

folgt nicht allein

f({a}) schneidet f({b}) = f({a} schneidet {b})

dafür brauchst du die voraussetzung.

du kannst das natürlich auch damit erklären, dass f injektiv ist und a ungleich b.

aber das darfst du an der stelle nicht tun, weil die annahme ja gerade an der beweisstelle ist, dass f NICHT injektiv ist.

Antwort von Sohni:

Zu der Aufgabe: Ich würde so argumentieren (kannst das ja einfach mal posten)

Zu zeigen ist: f(a) = f(b) => a=b für a,b Element von X

Setze (wie im Tip) A:={a} und B:={b}. Beides sind Teilmengen von X.

Nun ist f(A) = {f(a)} und f(B) = {f(b)} und weil f(a) = f(b) ist, ist f(A) geschnitten f(B) = {f(a)} = {f(b)}.

Nach Voraussetzung ist f(A) geschnitten f(B) = f(A geschnitten B) und damit gilt, dass f(a), f(b) Elemente von f(A geschnitten B) sind.

Angenommen nun, es ist a ungleich b. Dann ist A geschnitten B = leere Menge und damit f(A geschnitten B) = leere Menge. Da aber f(a) Element von f(A geschnitten B) ist, ist dies ein Widerspruch.

Es muss also a=b sein. Damit ist f injektiv.

Hoffe das stimmt so

@ bonbon mein Probmen ist: die Voraussetung bezieht sich ja auf A und B, nicht auf {a} und {b} (die könnten ja im Schnitt von A und B liegen und dabei trotzdem ungleich sein)

Nun uck ich mir mal "sohnis" an

Hier noch ein Ansatz.

Erstmal würde ich die zu beweisende Behauptung auch etwas umformulieren:

Eine Funktion f über X ist genau dann injektiv, wenn für alle Teilmengen A, B aus X gilt:
f(A) n f(B) = f(A n B)

Da dies eine Äquivalenzaussage ist, muß man beide "Richtungen" beweisen.

1. Hinrichtung =>:

Für jedes y aus f(A n B) gilt: Es gibt ein x aus A n B mit f(x) = y.
Wenn x aus A n B, dann gilt sowohl:
x aus A, also f(x) = y ist aus f(A)
x aus B, also f(x) = y ist aus f(B)
y ist also stets aus f(A) n f(B)
Damit ist f(A n B) eine Teilmenge von f(A) n f(B) (1.1)

Für jedes y aus f(A) n f(B) gilt:
y aus f(A), also existiert ein a aus A mit f(a) = y
y aus f(B), also existiert ein b aus B mit f(b) = y
Da f ja injektiv ist, muß a = b gelten.
Also ist a = b stets Element aus A n B.
Damit ist f(A) n f(B) eine Teilmenge von f(A n B) (1.2)

Aus 1.1 und 1.2 folgt, daß bei einer injektiven Funktion
beide Mengen genau gleich sind:

f(A n B) = f(A) n f(B)


2. Rückrichtung =>:

Wenn f injektiv ist, dann gilt: f(a) = f(b) <=> a = b für alle a,b aus X.
Oder anders: a <> b <=> f(a) <> f(b)

Wenn f(A n B) = f(A) n f(B) für alle Teilmengen A, B wahr ist, dann
insbesondere auch für alle Teilmengen mit nur einem Element
A = {a} und B = {b}, und das für alle a, b aus X.
(Dies ist der Hinweis...)

1. Fall: a = b

Dann ist f(a) = f(b), und f damit injektiv.

2. Fall: a <> b

Dann ist f(A n B) leer, d. h. es kann keine a, b aus X mit
a <> b und f(a) = f(b) geben.

Damit ist die Injektivität von f vollständig bewiesen,
wenn f(A n B) = f(A) n f(B) für alle Teilmengen A, B aus X gilt.

ich glaube, mit Teil 1 zeige ich nicht wirklich dass f injektiv ist, sondern nur, dass die beiden Mengen gleich sind, oder? Also, ich seh die Injektivität da nicht

Der Groschen hängt bei mir in der Luft, will aber nicht fallen

Und jetzt muss ich los

Danke allen Helfern und sohnis und twins

pingufreundin hat geschrieben:ich glaube, mit Teil 1 zeige ich nicht wirklich dass f injektiv ist, sondern nur, dass die beiden Mengen gleich sind, oder? Also, ich seh die Injektivität da nicht

f injektiv <=> f(A n b) = f(A) n f(B) für alle A,B

Mit 1. wird die eine Richtung => der Behauptung bewiesen:

f injektiv => f(A n b) = f(A) n f(B) für alle A,B

Die Injektivität von f wird für Schritt 1.2 benötigt.

pingufreundin hat geschrieben:Der Groschen hängt bei mir in der Luft, will aber nicht fallen

Und jetzt muss ich los

Danke allen Helfern und sohnis und twins

Viel Erfolg!

pingufreundin hat geschrieben:@ bonbon mein Probmen ist: die Voraussetung bezieht sich ja auf A und B, nicht auf {a} und {b} (die könnten ja im Schnitt von A und B liegen und dabei trotzdem ungleich sein)

Hi Pingu,
in der Voraussetzung steht für alle Teilmengen A, B von X. Was sind denn: {a} und {b} jeweils, genau Teilmengen von X Ist dir das jetzt klarer?

Ach ja im Beweis von DLK, kannst du (3) natürlich vollständig streichen und (4) zu (3) machen, dann passt es auch So wie das da steht ist es nicht falsch, aber natürlich doppelt gemoppelt. (4) enthält doch alles. Wenn man (3) für (4) benutzen will, geht dies natürlich, man sollte (4) dann aber anders aufschreiben, nämlich indem man auch (3) benutzt

Beim Beweis von Fritz in der 2. Rückrichtung <=:
würde ich den 1. Fall streichen bzw. dort das machen, was Fritz wohl beabsichtigt hat (Fritz korregiere mich, wenn ich mich irre). Um den zweiten Fall zu betrachten, muss es ja a,b aus X geben mit a <> b, das geht aber nur wenn X mehr als ein Element enthält. Ich denke genau dies wollte Fritz mit dem ersten Fall ausdrücken, nämlich |X| = 1. Dann ist f natürlich injektiv, da muss man nichts zeigen. Wenn man es doch möchte, ich denke Fritz wollte hier(?) zum Zeigen der Injektivität aus f(a) = f(b) => a = b benutzen. Bei einer einelementigen Menge ist dies sofort klar, da für a,b aus X folgt a = b. Aber so wie es da steht würde ich es als falsch anstreichen. Sprich der erste Fall behandelt eigentlich |X| = 1 und der zweite Fall behandelt |X| > 1, denn dann existieren a,b aus X mit a <> b.

Gruß,
Torsten

ToMe hat geschrieben:Beim Beweis von Fritz in der 2. Rückrichtung <=:
würde ich den 1. Fall streichen bzw. dort das machen, was Fritz wohl beabsichtigt hat (Fritz korregiere mich, wenn ich mich irre). Um den zweiten Fall zu betrachten, muss es ja a,b aus X geben mit a <> b, das geht aber nur wenn X mehr als ein Element enthält. Ich denke genau dies wollte Fritz mit dem ersten Fall ausdrücken, nämlich |X| = 1. Dann ist f natürlich injektiv, da muss man nichts zeigen. Wenn man es doch möchte, ich denke Fritz wollte hier(?) zum Zeigen der Injektivität aus f(a) = f(b) => a = b benutzen. Bei einer einelementigen Menge ist dies sofort klar, da für a,b aus X folgt a = b. Aber so wie es da steht würde ich es als falsch anstreichen. Sprich der erste Fall behandelt eigentlich |X| = 1 und der zweite Fall behandelt |X| > 1, denn dann existieren a,b aus X mit a <> b.

Wie Du schon ganz richtig bemerkt hast, ist der Fall |X| = 1 (oder X = {}) trivial, da f dann automatisch injektiv sein muß.

Der Fall 1 im zweiten Teil meines Beweises hat aber nichts mit der Kardinalität von X zu tun, und er betrifft keineswegs nur |X| = 1.

Wenn Du die Gesamtheit aller einelementigen Teilmengen A, B über X betrachtest, macht es durchaus Sinn, den Sonderfall gleicher Teilmengen (also mein Fall 1) separat zu betrachten. Denn dann ist in allen anderen Fällen (Fall 2) f(A n B) automatisch leer, und damit ist der Beweis schon so gut wie abgeschlossen.

Ist abgegeben und gibt es Montag zurück.
Ich schreib dann mal, was razsgekommen ist

Aber, also...wenn jemand Spaß dran hat: ich bekomm ja jede Woche einen Übungszettel (ich könnte aktuell was imit Körperaxiomen und so anbieten)

Weißt du eigentlich schon, wie du das später mit deinen Schülerinnen und Schülern machen wirst? Dürfen die sich auch im WWW von anderen Menschen die Lösung ihrer Hausaufgaben schicken lassen (falls Mami oder Papi mal keine Zeit haben)?

Nix für ungut
kobold

Dürften sie. Wobei ich es bisher ja eher mit Schülern zu tun hatte wo die Eltern eh keine AHnung hatten und kein Interesse.
Und wenn von den Schülern sich einer die Mühe gemacht hätte, Lösungen im Netz zu suchen, wäre ich begeistert gewesen

Außerdem wollt ich ja nicht nur 'ne Lösung sonder das verstehen

Ach ja: der Ansatz über den Widerspruch scheint falsch zu sien:
Der Prof meinte nämlich heute in der VL, irgendwann später käme mal ein Widerspruchsbeweis dran

Fritz hat geschrieben: Der Fall 1 im zweiten Teil meines Beweises hat aber nichts mit der Kardinalität von X zu tun, und er betrifft keineswegs nur |X| = 1.

Wenn Du die Gesamtheit aller einelementigen Teilmengen A, B über X betrachtest, macht es durchaus Sinn, den Sonderfall gleicher Teilmengen (also mein Fall 1) separat zu betrachten. Denn dann ist in allen anderen Fällen (Fall 2) f(A n B) automatisch leer, und damit ist der Beweis schon so gut wie abgeschlossen.

Hi Fritz,
dass du von Mathe Ahnung hast ist mir total klar, das sieht man daran wie du es aufschreibst. Trotzdem stimme ich dir hier nicht zu und mich wundert daher auch, das du dies anders siehst, ich hatte hier eigentlich an eine Typo von dir gedacht?! Lies dir doch selbst noch einmal durch was du geschrieben hast:

"
1. Fall: a = b

Dann ist f(a) = f(b), und f damit injektiv.
"

Was steht da (das hast du geschrieben) und was kann ich daraus schließen? Da steht:
(a) Aus a=b => f(a) = f(b)
Das ist aber immer so egal was ich betrachte, denn f ist eine Funktion. Sprich aus (a) gibt es nichts bzgl. einer Injektivität zu folgern. Alles klar

Was brauchen wir aber um die Injektivität zu zeigen für eine Menge |X| > 1. Genau wir brauchen: Für (beliebige) a,b aus X mit a<>b gilt f(a) <> f(b). Naja und diese beliebigen a,b existieren nun mal auch, da |X| > 1. Sprich zum Beweis der Injektivität betrachtest du erst einmal nur a, b aus X mit a <> b. Da ist noch keine Menge im Spiel. Für diese a,b betrachtet man dann die Mengen A:= {a} und B:= {b} und wendet auf diese dann die Voraussetzung f(A n B) = f(A) n f(B) an, womit man f(a) <> f(b) erhält. Hierfür brauchst du deinen Spezialfall, den Fall 1 nirgends und dies Aussage die du im Fall 1 machst hat ja nun auch nichts mit Injektivität zu tun.

Den Fall |X| = 1 müßte man natürlich nicht mal separat betrachten, denn zum Beweis der Injektivität reicht es a <> b zu betrachten, denn nur für diese muss f(a) <> f(b) gelten. Gibt diese a und b nicht, ist das bzgl. der Injektivität egal.

Gruß,
Torsten

pingufreundin hat geschrieben: Ach ja: der Ansatz über den Widerspruch scheint falsch zu sien:
Der Prof meinte nämlich heute in der VL, irgendwann später käme mal ein Widerspruchsbeweis dran

Hi Pingu,
erklärst du mir diese Aussage bitte? Wo ist denn da die Logik, ich dachte du willst Mathelehrerin werden, argll. Nur weil der Prof sagt später käme mal ein Widerspruchsbeweis dran oder weil eure Musterlösung anders aussieht, muss der Ansatz über den Widerspruch falsch sein.? Aehm, Bahnhof, wie bitte, Erde an Mars. Es gibt in der Mathematik nicht den Beweis. Ich bin kein Fan von DLK, aber sein Widerspruchsbeweis ist richtig. Wenn er falsch ist, dann finde den Fehler, das ist ja das schöne an der Mathematik, sonst vollziehe ihn nach und akzeptiere ihn.

Ich will dir hier auch nicht zu nahe treten, aber die Aufgabe ist einer Fingerübung (Verständnisübung) von elementaren Begriffen der Mathematik und ihre formale Umsetzung und nichts Abgehobenes für einen angehenden Mathelehrer, das schafft auch ein guter Schüler eines LK. Die Bundeswettbewerbe Mathematik die ja immerhin auch von einigen Schülern geschafft werden, haben hiergegen ein um Klassen höheres Niveau. Wie gesagt hier geht es um den Umgang mit dem Begriff Injektivität und um das Verständnis von Bildmengen. Falls du hier noch Probleme hast, dann arbeite jetzt daran, sonst bleiben die dauerhaft.

Gruß und viel Erfolg beim Studium,
Torsten

o.k., o.k.nicht falsch, aber nicht dass, was die eigentlich haben wollten

Verständnis von Bildmengen..bin ja schon dabei
Glaube aber trotzdem nicht, dass ich die je wieder brauche.
Aber der, der die Vorlesung macht, macht das so gut, dass es Spaß macht. Und wenn ich erstmal dabei bin, dann will ich es halt auch möglichst gut hinbekommen.
Ich bin in "Grundlagen Analysis" durchgefallen und sitze jetzt eigentlich in einer für mich falschen Vorlesung, AnaI. Falls ich den Schein da bekomme, wird er aber anerkannt.
Und da ich dem Prof folgen kann, wird das wohl auch was.(Kann aber auch bei dem anderen eine Nachklausur schreiben)
(das war letztes Mal das Problem, irgendwie hat er eine andere Sprache gesprochen als ich, nichts erklärt...Erklärungen wie "das sehen sie ja so" oder "das kennen sie ja aus der Schule")

Naja, zumindest brauch ich die Übungen offiziell nicht- aber da ich diesmal ganz gern bestehen würde...

pingufreundin hat geschrieben:Glaube aber trotzdem nicht, dass ich die je wieder brauche.

jetzt muss ich mich hier auch mal einmischen. Offenbar hast du den Sinn eines Studiums (immer) noch nicht begriffen. Es geht überhaupt nicht darum, ob man ein konkretes Thema irgendwann noch einmal braucht. Abgesehen davon kannst du das zum jetzigen Zeitpunkt überhaupt nicht wissen.

Von meinem halben Jahr nichtlineare Optimierung zehre ich heute noch, obwohl ich noch nie etwas aus diesem Kurs "gebraucht" habe.

Also, bitte argumentiere nicht wie einige der Schüler, die du mal unterrichten willst. Wenn du nur das lernen willst, was du "brauchst", dann solltest du eine einfache Anlerntätigkeit ausüben aber nicht Lehrerin werden.

pingufreundin hat geschrieben: Verständnis von Bildmengen..bin ja schon dabei
Glaube aber trotzdem nicht, dass ich die je wieder brauche.

Hi,
erst einmal schließe ich mich Ralf an, den Sinn eines Studium hast du nicht verstanden. Warum studierst du eigentlich Mathematik, wenn dich schon so elementare Dinge nicht interessieren. Zweitens sind das elementare Basisbegriffe, natürlich brauchst du die noch. Jetzt muss ich echt heftig schlucken. Du hast doch Abitur, oder? Der Stoff zum. aus Lin. Algebra I und Analysis I sollte nun wirklich ohne Wenn und Aber verstanden worden sein. Naja und da ich von einem Lehrer mehr als von einem normalen Oberstufenschüler im LK erwarte, eigentlich auch das meiste Aus Lin. Alg. II und Analysis II. Ganz ehrlich finde ich es manchmal erschreckend, dass ein Lehrer die Dinge häufig nicht gut versteht, die ein guter Schüler (von mir aus beschränken wir uns auf den LK) einfach drauf hat. Dabei hat der Schüler X Schulfächer und der Lehrer nur seine Fachgebiete. Sorry aber fachlich sollte für jemanden der das als Spezialgebiet (Fachgebiet) hat, der fachliche Inhalt Peanuts sein, sorry aber das sitze ich z.B. auf einem Briefmarken großen Stück meiner A*backe ab. Damit sage ich extra nicht das der Lehrerjob Peanuts ist und auch nicht das Schüler nicht schlauer sein dürfen als Lehrer. Das gibt es und was ist daran schlimm. Wie gesagt es gibt Schüler die den Bundeswettbewerb Mathematik (beschränken wir uns auf die 1. Runde) schaffen.Ich bin mir sehr sicher, dass nur ein sehr kleiner Anteil unserer Mathematiklehrer Sek II diesen auch hinbekommen. Ich finde das nicht schön, aber so ist es halt und das werfe ich ausdrücklich niemanden vor, auch wenn ich es mir anders wünschen würde.

Gruß,
Torsten

ToMe hat geschrieben:Was brauchen wir aber um die Injektivität zu zeigen für eine Menge |X| > 1. Genau wir brauchen: Für (beliebige) a,b aus X mit a<>b gilt f(a) <> f(b). Naja und diese beliebigen a,b existieren nun mal auch, da |X| > 1. Sprich zum Beweis der Injektivität betrachtest du erst einmal nur a, b aus X mit a <> b. Da ist noch keine Menge im Spiel. Für diese a,b betrachtet man dann die Mengen A:= {a} und B:= {b} und wendet auf diese dann die Voraussetzung f(A n B) = f(A) n f(B) an, womit man f(a) <> f(b) erhält. Hierfür brauchst du deinen Spezialfall, den Fall 1 nirgends und dies Aussage die du im Fall 1 machst hat ja nun auch nichts mit Injektivität zu tun.

Den Fall |X| = 1 müßte man natürlich nicht mal separat betrachten, denn zum Beweis der Injektivität reicht es a <> b zu betrachten, denn nur für diese muss f(a) <> f(b) gelten. Gibt diese a und b nicht, ist das bzgl. der Injektivität egal.

Gruß,
Torsten

Ich denke, hier liegt wohl ein Mißverständnis vor: ich betrachte nirgendwo explizit |X|=1. Und es stimmt natürlich, daß nur a <> b tatsächlich interessant ist... Noch mal zur Verdeutlichung der Ansatz:

Betrachte alle möglichen Paare einelementiger Teilmengen A, B aus einer beliebigen Menge X = { x1, x2,... xn}: A = {xk}, B = {xj}.

Dann gibt es offensichtlich zwei Fälle von Teilmenge-Paaren A,B:

(1) xk = xj
(2) xk <> xj

Im zweiten Fall ist f(A n B) stets leer, und damit folgt sofort: xk <> xj => f(xk) <> f(xj), also ist f injektiv.

Und im ersten Fall ist es wirklich trivial, den muß man eigentlich nicht weiter ausführen, aber man sollte ihn doch zumindest hinschreiben.

ToMe hat geschrieben:Lies dir doch selbst noch einmal durch was du geschrieben hast:

"
1. Fall: a = b

Dann ist f(a) = f(b), und f damit injektiv.
"
Das ist aber immer so egal was ich betrachte, denn f ist eine Funktion. Sprich aus (a) gibt es nichts bzgl. einer Injektivität zu folgern. Alles klar

Natürlich - der 1. Fall ist eine Trivialität, sollte aber der Vollständigkeit halber aufgeführt werden. "Dann ist f(a) = f(b), und f damit injektiv" ist allerdings etwas zu flapsig formuliert. Ein kurzes Hinweis, daß auch im ersten Fall das (äquivalente) Injektivitätkriterium "f(a) = f(b) => a = b" erfüllt ist, wäre wohl exakter und besser gewesen.


Ansonsten stimmte ich den letzten Anmerkungen von Dir und RalfF zum Studium im Allgmeinen und dieser Übung im Besonderen absolut zu.

Fritz hat geschrieben:Noch mal zur Verdeutlichung der Ansatz:

Betrachte alle möglichen Paare einelementiger Teilmengen A, B aus einer beliebigen Menge X = { x1, x2,... xn}: A = {xk}, B = {xj}.

Dann gibt es offensichtlich zwei Fälle von Teilmenge-Paaren A,B:

(1) xk = xj
(2) xk <> xj

Im zweiten Fall ist f(A n B) stets leer, und damit folgt sofort: xk <> xj => f(xk) <> f(xj), also ist f injektiv.

Hi Fritz,
ich hatte mir gedacht, dass du irgendwie darauf raus willst, aber weshalb? So wie du den Beweis aufgeschrieben hast, brauchst du die Betrachtung aller Paare doch garnicht. Darauf wollte ich bei meiner letzten Erklärung raus, ich wiederhole noch mal.

Wenn ich Injektivität zeige, schnappe ich mir a <> b aus X und zeige, dann gilt f(a) <> f(b).

So schriebst du es im 2. Fall ja auch hin. Sei a < > b aus X. Das kann ich einfach machen, dafür muss ich nicht alle Paare betrachten. Ich bilde dann A:= {a} und B:= {b}. Da gibt es dann keine Mengen mit A = B, warum auch, für die Injektivität schnappe ich mir einfach irgendwelche a <> b, alle Paare muss ich dafür nicht betrachten und deshalb natürlich auch nicht den Fall a = b. Sprich es gibt hier eigentlich garnicht den Fall der 2. Teilmengenpaare A, B wie du ihn oben erwähnst. Den brauche ich nicht und er macht es m.M. unübersichtlich und lenkt vom Wesentlichen (*) ab. Dann wende ich die Voraussetzung an und bin fertig und die Voraussetzung gilt eben auch für die beiden betrachteten Mengen A und B mit A <> B.

(*) Den Nachweis der Injektivität, im Sinne z.B. einer Definition. f: X-> Y, x |-> f(x) heißt injektiv wenn für a, b aus X mit a <> b gilt: f(a) <> f(b)

Ich hoffe es ist jetzt klar, was ich meine.

Gruß,
Torsten

ToMe hat geschrieben:ich hatte mir gedacht, dass du irgendwie darauf raus willst, aber weshalb? So wie du den Beweis aufgeschrieben hast, brauchst du die Betrachtung aller Paare doch gar nicht.

Weil die zu beweisende Aussage lautet:

f über X ist injektiv <=> Für alle Teilmengen A, B aus X gilt: f(A) n f(B) = f(A n B)

Daher genügt es mE nicht, nur manche Teilmengen-Paare A, B (nämlich die mit ungleichen Elementen) zu betrachten, sondern alle. Sonst ist der Beweis streng genommen unvollständig. (Eigentlich müßte man auch die Teilmengen mit Kardinalität > 1 noch behandeln, worauf ich aber verzichtet habe.)

Ich denke, wir diskutieren jetzt aber über reine Formalismen, inhaltlich ist diese kleine Übung ja nun abgefrühstückt, oder?

Gruß
Jürgen

@ ToMe und RalfF Mir jetzt noch den Sinn eines Stuidums nahe bringen zu wollen, ist ein bißchen spät, bin ja fast fertig.
Außerdem ist mir das schon klar Trotzdem darf es da doch Dinge geben, die mich nicht interessieren, oder etwa nicht??
Das "spielen" mit den Mengen finde ich sogar ganz nett- wenn ich erstmal angefanegn habe beiß ich mich dran fest. Ist ein bißchen, wie Rätsel knacken.
Aber ganz ehrlich: ob eine Reihe konvergiert und warum und wann... ist mir echt egal. Auch wenn ihr mich dann für eine schlechte Mathelehrerin haltet.
Für die Oberstufe (erst recht einen LK) wäre ich damit sicher ungeeignet, da habt ihr recht. Das wollte ich auch nie und darumstudiere ich ja auch nicht gymnasiales Lehramt.
In Analysis muss ich nur Grundlagen machen (da kam das von jetzt übrigens auch nicht drin vor) und Lin.A. gar nicht. (Da saß ich trotzdem mal, war ehrlich gesagt viel spannender als Geometrie...hängt auch viel vom Prof ab).

Wirklich schade im Studium find ich auch eher das, was man nicht lernt. Oder zumindest mal anspricht. Einige angehende Lehrer glauben immer noch, am Gymnasium würden alle Schüler aus einer heilen Familie kommen und gerne lernen
Und mein Physikdidaktiker glaubt, ich würde an der Hauptschule bilingual unterrichten

p.s. ich studiere auch nicht in erster Linie Mathematik sondern Lehramt

Fritz hat geschrieben:Weil die zu beweisende Aussage lautet:

f über X ist injektiv <=> Für alle Teilmengen A, B aus X gilt: f(A) n f(B) = f(A n B)

Daher genügt es mE nicht, nur manche Teilmengen-Paare A, B (nämlich die mit ungleichen Elementen) zu betrachten, sondern alle. Sonst ist der Beweis streng genommen unvollständig. (Eigentlich müßte man auch die Teilmengen mit Kardinalität > 1 noch behandeln, worauf ich aber verzichtet habe.)

Ich denke, wir diskutieren jetzt aber über reine Formalismen, inhaltlich ist diese kleine Übung ja nun abgefrühstückt, oder?

Hi Jürgen,
der reine Formalismus ist hier natürlich keine Kleinigkeit nachdem was du vorher erwähnst, denn das was du meinst zeigen und benutzen zu müssen, weil es sonst falsch würde ist einfach nicht richtig, denn das alle steckt in einer Voraussetzung und warum muss ich alle Teile einer Voraussetzung benutzen? Wenn ich Aussage A zeigen muss und die Voraussetzung B besitze, für den Beweis aber eine schwächere Voraussetzung C reicht, dann muss ich B doch nicht volständig benutzen. Deine Anmerkung der Beweis wäre sonst unvollständig ist einfach nicht richtig, ich schreibe noch mal ausfürhlich hin was wir zeigen wollen. Merke das alle steckt in der Voraussetzung und nicht in dem Teil der zu zeigen ist.

Voraussetzung: Für alle Teilmengen A, B aus X gilt: f(A) n f(B) = f(A n B) mit
f :X -> X, x |-> f(x)

Beh.: f :X -> X, x |-> f(x) ist injektiv

Bew.: Seien a, b aus X mit a <> b, dann gilt mit A:= {a}, B:={b}:
{} = f(A n B) = f(A) n f(B) = f({a}) n f({b}) = {f(a)} n {f(b)}, als folgt:
{ f(a) } <> { f(b) } und damit f(a) <> f(b), also ist f injektiv q.e.d.

Wo bitte brauche ich jetzt das alle und wo ist dieser Beweis unvollständig?

Gruß,
Torsten

Das ist ja mal wieder lustig hier. Pingu, hast Du eigentlich alle vier Lösungen eingereicht?

SCNR

Bruce

Teamarbeit ist erwünscht sogar sehr (wenn die sich das auch andes vorstellen) man soll eigentlich min. zu zweit, besser zu dritt die Aufgaben abgeben. Ich hab gebettelt, dass ich allein darf

ob man nun aus irgendwelchen büchern abschreibt oder im web, ist egal.
Gefordert ist auch eher die Auseinandersetzung mit den Aufgaben.
Das hab ich ja getan. Ich könnte auch hingehen und zeigen, wo ich meine Lösung her habe Das wär in Ordnung so

Warum ist es gerade bei angehenden Lehrern schockierend, wenn sie durchfallen? Das hätte ich gerne erklärt
(Es gibt Veranstaltungen, da fallen regelmäßig ca die Hälfte durch)
Oder andersherum: wer dürfte denn durchfallen? Angehende Mathematiker etwa?

@bruce nee, die kamen ja zu spät. Ich kann sie ja vielleicht nachreichen
(dann erschlägt mich wohl die Übungsgruppentutorin- sie hatte nach der Genehmigung zum allein abgeben extra gesagt "schreib nicht soviel")

Wenn ich sehe, mit welchen mathematischen Problemen ich mich mit meinen Azubis rumschlagen muss, könnt ich heulen. Und die haben meistens mittlere Reife. Doch die Defizite in Mathe werden von Jahr zu Jahr größer Und nicht nur da.

ToMe hat geschrieben:Hi Jürgen,
der reine Formalismus ist hier natürlich keine Kleinigkeit nachdem was du vorher erwähnst, denn das was du meinst zeigen und benutzen zu müssen, weil es sonst falsch würde ist einfach nicht richtig, denn das alle steckt in einer Voraussetzung und warum muss ich alle Teile einer Voraussetzung benutzen? Wenn ich Aussage A zeigen muss und die Voraussetzung B besitze, für den Beweis aber eine schwächere Voraussetzung C reicht, dann muss ich B doch nicht volständig benutzen. Deine Anmerkung der Beweis wäre sonst unvollständig ist einfach nicht richtig, ich schreibe noch mal ausfürhlich hin was wir zeigen wollen. Merke das alle steckt in der Voraussetzung und nicht in dem Teil der zu zeigen ist.

Voraussetzung: Für alle Teilmengen A, B aus X gilt: f(A) n f(B) = f(A n B) mit
f :X -> X, x |-> f(x)

Beh.: f :X -> X, x |-> f(x) ist injektiv

Bew.: Seien a, b aus X mit a <> b, dann gilt mit A:= {a}, B:={b}:
{} = f(A n B) = f(A) n f(B) = f({a}) n f({b}) = {f(a)} n {f(b)}, als folgt:
{ f(a) } <> { f(b) } und damit f(a) <> f(b), also ist f injektiv q.e.d.

Wo bitte brauche ich jetzt das alle und wo ist dieser Beweis unvollständig?

Vermutlich hast Du meinen ersten Beitrag nicht vollständig gelesen - Ich habe pingus (zu) schwammig formulierte Aufgabe bewußt in eine etwas stärkere Äquivalenzaussage umgeformt, und diese dann bewiesen.

pingufreundin hat geschrieben:Ich soll beweisen, dass für alle A,B Teilmenge aus X f injektiv ist, wenn f (A schneidet B) = f (A) schneidet f(B) ist

Fritz hat geschrieben:f injektiv über X <=> f(A n b) = f(A) n f(B) für alle Teilmengen A, B aus X

Für die von Dir oben formulierte, etwas eingeschränktere Behauptung genügt es tatsächlich, nur die Teilmengen A = {a}, B = {b} mit a <> b zu betrachten. Dafür ist die Aussage allerdings auch weniger stark.

Gruß
Jürgen

wieso? wer durchfällt, macht es dann doch nochmal. Und versteht es dann und bsteht- oder fällt wieder durch. Und muss dann irgendwann aufhören. D.h., wer es nie schnallt, wird auch nicht Lehrer.
Dass es Jugendliche gibt, die nichtmal mehr die Fläche eines Rechteckes berechnen können, kann man wohl kaum auf eventuell mangelnde Analysekentnisse der Lehrkräfte schieben.
öhm, wer braucht denn dan garantiert kein Analysis mehr??
In den VL sitzen nur angehende Lehrer , Mathematiker und Physiker.

Außerdem hängt es - eventuell abhängig von der Schulform- nicht so sehr vom Fachwissen ab, ob ein Lehrer gut ist. Klar ist das Fachwissen die Grundvoraussetzung.
(Wobei: in der Praxis unterrichten Lehrer dann ja alles Mögliche, ohne in der Uni erworbenes Fachwissen)
Ich kenne Mitstudis, die sind richtig gut in Physik und Mathe. waren da auch schon immer gut und studieren diese Fächer "weil sie doch einfach sind" Mir graut wenn ich mir vorstelle, dass die mal die Probleme der Schüerl verstehen sollen. DAS können nämlich einige nicht. Die Schüler können keine Probleme damit haben, denn es ist ja so einfach

Ich musste mir vieles erkämpfen,weil es mir nicht leich fiel- kann aber viele Probleme der Schüler gut nachvollziehen.
Ein Lehramtsstudium ist ja sehr vielfältig:2 Fachwissenschaften,Didaktik, Pädagogik (nochmal aufgeteilt in verschiedenes, z.B. Erstunterricht,Geschichte der Pädagogik, Bildungssystem, Schulsystem, Umgang mit Heterogenität, Koedukation, u.s.w ) Psychologie,Soziologie. Und ein bißchen (leider viel zu wenig) Praxis. Da hat sich dann gezeigt, was man kann und was nicht. (Ein Matheass ist danach auf Diplom umgestiegen). Und da war ich gut
Das Fachliche ist eben nur ein Teil in dem Puzzle.
Sonst würde man ja Mathematiker einstellen und nicht Lehrer

p.s. durch das hier helfen lassen hab ich mich deutlich mehr mit der Aufgabe beschäftigt, als hätte ich sie wo abgeschrieben. Was ich eh nicht kann- ich will wenn ich es schon mache, es verstehen. Oder ich lasse es ganz sein.

pingufreundin hat geschrieben:Dass es Jugendliche gibt, die nichtmal mehr die Fläche eines Rechteckes berechnen können, kann man wohl kaum auf eventuell mangelnde Analysekentnisse der Lehrkräfte schieben.

Das ist keine Mathematik, sondern Rechnen.

pingufreundin hat geschrieben:Ich kenne Mitstudis, die sind richtig gut in Physik und Mathe. waren da auch schon immer gut und studieren diese Fächer "weil sie doch einfach sind" Mir graut wenn ich mir vorstelle, dass die mal die Probleme der Schüerl verstehen sollen. DAS können nämlich einige nicht. Die Schüler können keine Probleme damit haben, denn es ist ja so einfach

Liebe Pingu,

ich kenne und verstehe, was Du meinst. Gerade um den schwachen Schülern aber gut und effizient helfen zu können, benötigt man selbst ein klares, sattelfestes Verständnis der Grundlagen. Nimm es mir nicht übel, aber da gibt es bei Dir aktuell noch so den einen oder anderen Schatten eines Zweifels...

Wenn Dir dieser Thread allerdings hilft, Dich intensiver mit der Materie und den Aufgaben auseinanderzusetzen, dann wäre das schon mal ein guter erster Schritt.

Gruß
Jürgen

pingufreundin hat geschrieben:@fritz Ich wollte gerade die genaue Aufgabenstellung reinkopieren,geht aber nicht

zu finden ist sie hier:http://www.matheraum.de/read?i=192252

Aha - also doch eine Äquivalenzaussage, wie ich vermutet habe.

Fritz hat geschrieben:Das ist keine Mathematik, sondern Rechnen.

richtig. Das ist das, was man in der Sek1 zu einem großen Teil tut

Ich hatte es schonmal erwähnt: diese Aufgaben sind für meinen Studiengang nichtmal gefordert Sie könnten mir also am Ar... vorbeigehen- dann hätte ich hier aber nicht gefragt, oder?

Und wie man schwachen Schülern am Besten helfen kann, kommt auf den Schüler an. Bisher war aber keiner dabei, wo dies Thema geholfen hätte.
Manchmal sind es z.B. Sprachprobleme, als guter Lehrer müsste ich folglich mindestens russisch und türkisch lernen. (DAS hätte ich zumindest schon häufiger brauchen können). Mach ich aber auch nicht.

Da man ja nunmal in den Fächern Scheine und Prüfungen machen muss, verstehe ich die Sorge um die zukünftigen Schüler nicht. Wer es nicht irgendwann kann,kommt nicht durch, basta.
Mehr Sorgen sollte man sich darüber machen, dass andere Kompetenzen nicht überprüft werden (dass z.B. gerade die Praktika in der Schule nicht benotet werden) Einige sitzen die nur ab. Ich finde das schlimmer als eine 3 in Mathe.
Aber ich kann euch beruhigen: im neuen, völlig verschulten Bachelor-Studiengang wird alles benotet und man braucht mind. eine 2,5. (Gut, wie man sich vor einer Klasse anstellt interessiert da immer noch keinen. Aber wenn ich das hier so lese, ist das ja gewollt)

Also ich verstehe nicht viel von Mathe, aber eins weiß ich:

Wer wirklich gut in Mathe ist, der wird doch kein Lehrer!
Das soll nicht gegen pingufreundin sein. Im Gegenteil.
Das ist normal, obwohl die Eltern sich vielleicht was anderes wünschen.

Der Schüler muss ja auch lernen, selbstständig den Stoff aus den Büchern zu kapieren. Lehrer hin oder her. Und wenn der Schüler dann später eine Ausbildung macht oder zur Uni geht, fängt der Stoff doch sowieso noch mal ganz von vorne an.

pingufreundin hat geschrieben:Und wie man schwachen Schülern am Besten helfen kann, kommt auf den Schüler an. Bisher war aber keiner dabei, wo dies Thema geholfen hätte.
Manchmal sind es z.B. Sprachprobleme, als guter Lehrer müsste ich folglich mindestens russisch und türkisch lernen. (DAS hätte ich zumindest schon häufiger brauchen können). Mach ich aber auch nicht.

Ein Selbstverteidigungskurs wäre wahrscheinlich auch nicht verkehrt.

Ansonsten halte ich es für absolut unerlässlich, die Schüler mit Migrationshintergrund in ihrem ganz eigenen Interesse so früh wie möglich zu zwingen, in der Schule Deutsch (und ausschließlich Deutsch) zu reden.